Cho các hàm số  f(x) = mx^4+ mx^3+ px^2+ qx + r

Ta có fx=gx⇔ax3+bx2+cx+d=mx4+nx3+px2+qx+r.

⇔mx4+n−ax3+p−bx2+q−cx+r−d=0 1

Do f0=g0⇒x=0 là nghiệm của phương trình 1⇒r−d=0.

Lại có f'x=4mx3+3nx2+2px+q.g'x=3ax2+2bx+c.

f'x=g'x⇔4mx3+3n−ax2+2p−bx+q=0.

Từ đồ thị suy ra m>0,a>0,g'0=0⇒c=0.

Ngoài ra, phương trình f'x=g'x có các nghiệm x=−a;x=1;x=2 nên ta có hệ:

−4m+3n−a−2p−b+q=04m+3n−a+2p−b+q=032m+12n−a+4p−b+q=0⇔p−b=−2mq=−3n−a32m−4q−8m+q=0⇔p−b=−2mn−a=−83mq=8m

 

Khi đó phương trình (1) thành

⇔mx4−83mx3−2mx2+8mx=0⇔x4−83x3−2x2+8x=0⇔xx3−83x2−2x+8=0⇔x=0x3−83x2−2x+8=0 2

Xét hx=x3−83x2−2x+8, tập xác định ℝ

h'x=3x2−163x−2=0⇔x=8+1189=x1x=8−1189=x2

 

Bảng biến thiên

Suy ra, phương trình (2) có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng −2;−32 nên phương trình (1) có 2 nghiệm x=0 và x∈−2;−32. Do đó, tổng tất cả các nghiệm của phương trình 1:S∈−2;−32.

Chọn C.