Cho các hàm số f(x) = (2x - 3)/x và g(x) = 3/x^2 xác định trên tập D =R\{0}

9/25

Cho các hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{x}\) và \(g\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}}\) xác định trên tập \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

1. Hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D.

ĐúngSai

2. Hàm số \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\) là họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

ĐúngSai

3. Cho \(F\left( 1 \right) = 5\), khi đó \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\).

ĐúngSai

4. \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(xf\left( x \right)\) thỏa mãn \(G\left( 1 \right) = 4\). Khi đó \(G\left( 2 \right) = 2\).

ĐúngSai

Giải thích

1. Đúng. Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{x} = 2 - \frac{3}{x}\), khi đó \(f'\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}} = g\left( x \right),\forall x \in D\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D.

2. Đúng. Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\frac{{2x - 3}}{x}{\rm{d}}x = \int {\left( {2 - \frac{3}{x}} \right)} } \,{\rm{d}}x = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\).

3. Đúng. Vì \(F\left( 1 \right) = 5 \Rightarrow 2 \cdot 1 - 3\ln 1 + C = 5 \Rightarrow C = 3\). Vậy \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\).

4. Sai. Vì \(G\left( x \right) = \int {xf\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {x\left( {\frac{{2x - 3}}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( {2x - 3} \right)} \,{\rm{d}}x = {x^2} - 3x + C\).

Mà \[G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow {1^2} - 3 \cdot 1 + C = 4 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow G\left( x \right) = {x^2} - 3x + 6\]. Vậy \(G\left( 2 \right) = 4\).