Cho các điểm A, B, C có tọa độ thỏa mãn OA = i + j + k, OB = 5i + j - k BC = 2i + 8j + 3k. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k \) ⇒ \(\overrightarrow {OA} \) = (1; 1; 1) ⇒ A(1; 1; 1).

           \(\overrightarrow {OB}  = 5\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k \)⇒ \(\overrightarrow {OB} \) = (5; 1; −1) ⇒ B(5; 1; −1).

           \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \) ⇒ \(\overrightarrow {BC} \) = (2; 8; 3).

Gọi C(x; y; z), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 2\\y - 1 = 8\\z - \left( { - 1} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\\z = 2\end{array} \right.\) ⇒ C(7; 9; 2).

Gọi D(a; b; c). Vì ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 2\\b - 1 = 8\\c - 1 = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 8\\c = 4\end{array} \right.\).

Vậy D(3; 9; 4).