Cho các dãy số sau đây: un = (căn 5)^(2n - 3); v_n = 2/n; w_n = 3^(n + 1)/2^n và dãy số hữu hạn gồm các số hạng:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2\left( {n + 1} \right) - 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2n - 1}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{2n - 1}}}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{2n - 3}}}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\).

Do đó, (u_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) với công bội q = 5.

b) Đúng. Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}} \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}\).

Do đó (v_n) không phải là một cấp số nhân.

c) Đúng. Ta có: \(w_{n + 1}^{} = \frac{{{3^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \Rightarrow \frac{{{w_{n + 1}}}}{{{w_n}}} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}}{{\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}} = \frac{3}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó (w_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({w_1} = \frac{{{3^2}}}{{{2^1}}} = \frac{9}{2}\) với công bội \(q = \frac{3}{2}\)

d) Sai. Đặt u₁ = 16; u₂ = 4; u₃ = 1; u₄ = \(\frac{1}{4}\); u₅ = \(\frac{1}{{16}}\); u₆ = \(\frac{1}{{64}}\).

Ta có: \({u_2} = {u_1} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_3} = {u_2} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_4} = {u_3} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_5} = {u_5} \cdot \frac{1}{4};\,\,{u_6} = {u_5} \cdot \frac{1}{4}\)

Vì vậy dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \(\frac{1}{4}\).