Cho các đa thức: P(x)=−4x^4+2x−1+2x^4+3x^3+2−x N(x)=2x^3+x^2−5 M(x)=x^2−4 1) Thu gọn đa thức P(x), sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa

1) Thu gọn đa thức \[P\left( x \right)\] và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến như sau:

\[P\left( x \right) = - 4{x^4} + 2x - 1 + 2{x^4} + 3{x^3} + 2 - x\]

\[ = \left( { - 4{x^4} + 2{x^4}} \right) + 3{x^3} + \left( {2x - x} \right) + \left( {2 - 1} \right)\]

\[ = - 2{x^4} + 3{x^3} + x + 1\].

Hệ số cao nhất của đa thức \[P\left( x \right)\] là \[ - 2\], hệ số tự do của đa thức \[P\left( x \right)\] là 1.

2) Ta có \[N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2} - 5} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)\]

\[ = 2{x^3} + {x^2} - 5 - {x^2} + 4 = 2{x^3} - 1.\]

3) Ta có \[N\left( x \right) \cdot M\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2} - 5} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\]

\[ = \left( {2{x^3} + {x^2} - 5} \right){x^2} + \left( {2{x^3} + {x^2} - 5} \right).\left( { - 4} \right)\]

\[ = 2{x^5} + {x^4} - 5{x^2} - 8{x^3} - 4{x^2} + 20\]

\[ = 2{x^5} + {x^4} - 8{x^3} - 9{x^2} + 20\]

4) Nghiệm của đa thức \[M\left( x \right)\] thỏa mãn \[M\left( x \right) = {x^2} - 4 = 0\]

\[{x^2} = 4\]

\[x = 2\] hoặc \[x = - 2\]

Vậy \[M\left( x \right)\] có 2 nghiệm là 2 và \[ - 2\].