Cho các cấp số cộng Un

8/235

Cho các cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 4}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3}\end{array}} \right.\) và \(\left( {{v_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 1}\\{{v_{n + 1}} = {v_n} + 5}\end{array}} \right.\). Có bao nhiêu số \(m\) bé hơn 2025 sao cho \(m\) vừa là số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\), vừa là số hạng của \(\left( {{v_n}} \right)\)?

134.

326.

458.

215.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\), trong đó \(d\) là công sai.

Lời giải

\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 4}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3}\end{array}} \right.\) nên \(d = 3\). Số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là\({u_n} = 4 + \left( {n - 1} \right)3 \Rightarrow {u_n} = 3n + 1\).

\(\left( {{v_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 1}\\{{v_{n + 1}} = {v_n} + 5}\end{array}} \right.\) nên \(d = 5\). Số hạng tổng quát của \(\left( {{v_n}} \right)\) là\({v_n} = 1 + \left( {n - 1} \right)5 \Rightarrow {v_n} = 5n - 4\).

Gọi \(k,t\) là các số nguyên dương thỏa mãn \({u_k} = {v_t}\). Điều kiện: \(1 \le k \le 674;\,\,1 \le t \le 405\).

Ta có \(m = {u_k} = {v_t} \Rightarrow 3k + 1 = 5t - 4 \Rightarrow 3k + 5 = 5t \Rightarrow 3k \vdots 5 \Rightarrow k \vdots 5\). Đặt\(k = 5x\left( {x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\). Vì \(1 \le k \le 674\) nên \(1 \le x \le 134\).

Khi đó \(m = {u_k} = 3k + 1 = 3\left( {5x} \right) + 1 = 15x + 1\). Mà \(1 \le x \le 134,x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) nên có 134 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.