Cho các biểu thức: A = √ x + 5/√ x và B = √ x + 1/√ x + 2 − 2/ √ x − 2 + 6 + √ x/ x − 4 với x > 0 ; x ≠ 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25. 2) Chứng minh B = √ x √ x + 2 .

1) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = 25.\)

Thay \(x = 25\)(thỏa mãn điều kiện \(x > 0\,;\,x \ne 4\)) vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {25} + 5}}{{\sqrt {25} }} = \frac{{5 + 5}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Vậy \(A = 2\) khi \(x = 25.\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

Ta có: \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{6 + \sqrt x }}{{x - 4}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x - 2 - 2\sqrt x - 4 + 6 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\), với \(x > 0\,;\,x \ne 4\).

3) Cho \(P = A.B\). Tìm giá trị của \(x\) để \(P\) là số nguyên.

Ta có: \[P = A.B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 2}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x + 2 + 3}}{{\sqrt x + 2}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\]

\[ = 1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\].

Ta có: \(3 > 0\) và \(\sqrt x + 2 > 0\), với \(x > 0\,;\,x \ne 4\).

Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}} > 0\).

Do đó \(1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} > 1 + 0\).

Vì vậy \(P > 1\) (1)

Ta lại có: \(\sqrt x + 2 > 2\), với \(x > 0\,;\,x \ne 4\).

Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}} < \frac{3}{2}\).

Khi đó \(1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} < 1 + \frac{3}{2}\).

Vì vậy \(P < \frac{5}{2}\) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra \(1 < P < \frac{5}{2}\).

Mà \(P\) là số nguyên (giả thiết).

Do đó \(P = 2\) hay \[1 + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = 2\].

Vì vậy \[\frac{3}{{\sqrt x + 2}} = 1\] (vì \[\sqrt x + 2 \ne 0\], với \(x > 0\,;\,x \ne 4\)).

Suy ra \[3 = \sqrt x + 2\].

Khi đó \[\sqrt x = 1\].

Vì vậy \[x = 1\].

So với điều kiện \(x > 0\,;\,x \ne 4\), ta nhận \[x = 1\].

Vậy \(x = 1\) thì \(P\) là số nguyên.