Cho các bất phương trình sau. Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện –x + 3 > 0 ⇔ x < 3

Ta có: log₂(–x + 3) ≥ 1. Vì a = 2 > 1

⇒ –x + 3 ≥ 2¹ ⇔ –x + 3 ≥ 2 ⇔ –x ≥ –1 ⇔ x ≤ 1.

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≤ 1 ⇒ Nghiệm lớn nhất của bất phương trình bằng 1.

b) Sai. Điều kiện: 2x – 3 > 0 ⇔ x > \(\frac{1}{3}\)

Ta có: \({\log _{\frac{1}{3}}}(2x - 3)\) ≤ 3. Vì 0 < a = \(\frac{1}{3}\) < 1

⇒ 2x – 3 ≥ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}\) ⇔ 2x – 3 ≥ \(\frac{1}{{27}}\) ⇔ 2x ≥ \(\frac{{82}}{{27}}\) ⇔ x ≥ \(\frac{{41}}{{27}}\)

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≥ \(\frac{{41}}{{27}}\)

⇒ Nghiệm bé nhất của bất phương trình bằng \(\frac{{41}}{{27}}\).

c) Sai. Điều kiện: x² + 5x + 4 > 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x > - 1\\x < - 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện nghiệm của bất phương trình là x > –1 hoặc x < –4.

d) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x - 1 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{2}\\x > - 1\end{array} \right.\) ⇔ –1 < x < \( - \frac{1}{2}\)

Ta có: \({\log _{\frac{1}{9}}}( - 2x - 1) > {\log _{\frac{1}{9}}}(x + 1)\). Vì 0 < a = \(\frac{1}{9}\) < 1

⇒ –2x – 1 < x + 1 ⇔ –2x – x < 1 + 1 ⇔ –3x < 2 ⇔ x > \( - \frac{2}{3}\)

Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là \( - \frac{2}{3} < x < - \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{1}{2}} \right)\).