Cho (Cα): x^2 + y^2 - 2xcos alpha - 2ysin alpha + cos^2 alpha = 0 (với alpha ≠ kpi). Xác định alpha để (Cα) có bán kính lớn nhất.

85/235

Cho \(({C_\alpha }):{x^2} + {y^2} - 2x\cos \alpha - 2y\sin \alpha + \cos 2\alpha = 0\) (với \(\alpha \ne k\pi \)). Xác định \(\alpha \) để \(({C_\alpha })\) có bán kính lớn nhất.

\(\alpha = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)

\(\alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)

\(\alpha = k\pi .\)

\(\alpha = k2\pi .\)

Giải thích

Giải chi tiết:

Bán kính của đường tròn

\(({C_\alpha }):{x^2} + {y^2} - 2x\cos \alpha - 2y\sin \alpha + \cos 2\alpha = 0\) là:

\(R = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha - \cos 2\alpha } = \sqrt {1 - \cos 2\alpha } = \sqrt {2{{\sin }^2}\alpha } \)

Ta có \(2{\sin ^2}\alpha \le 2\;\forall \alpha \) nên \(R \le \sqrt 2 \).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm 1 \Leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi \;(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy \({R_{\max }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi = \frac{\pi }{2} + k\pi \).

Đáp án cần chọn là: A