Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi Ax, By là hai đường thẳng vuông góc với AB tại A

a) Xét ΔAMCvà ΔBPC có:

AC = CB (gt)

MAC^=PBC^ =90°

ACM^=BCP^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ΔAMC = ΔBPC(g.c.g)

Suy ra MC = CP (haicạnh tương ứng).

Mà NC⏊ MP.

Suy ra NC là đường trung trực của MP.

Vậy nên tam giác NMP cân tại N.

Suy ra P^1=M^2 (1)

Mà do Mx// By nên suy ra P^1=M^2 (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được M^1=M^2.

Xét ΔAMC và ΔHMCcó:

MAC^=MHC^ =90°

Cạnh MC chung

M^1=M^2 (cmt)

Do đó ΔAMC = ΔHMC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AM = HM (hai cạnh tương ứng) (*)

Tam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.

Suy ra N^1=N^2

Xét ΔHNCvà ΔBNC có:

Cạnh CN chung

N^1=N^2 (cmt)

CHN^=CBN^ =90°

Do đó ΔHNC = ΔBNC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra NH=NB(haicạnh tương ứng) (**)

Từ (*) và (**) suy ra:AM + BN = MH + HN = MN (đpcm).