Cho C = căn bậc hai của 21 − 12 căn bậc hai của 3 và D = căn bậc hai của 37 − 20 căn bậc hai của 3. Hỏi có bao nhiêu số nguyên nằm giữa C và D?

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có:

\(C = \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } = \sqrt {21 - 2.3.2.\sqrt 3 } = \sqrt {12 - 2.3.2.\sqrt 3 + 9} = \sqrt {4.3 - 2.3.2.\sqrt 3 + {3^2}} \)

    \( = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.3.2.\sqrt 3 + {3^2}} = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 - 3} \right)}^2}} = 2.\sqrt 3 - 3\).

\(D = \sqrt {37 - 20\sqrt 3 } = \sqrt {25 - 2.5.2.\sqrt 3 + 12} = \sqrt {{5^2} - 2.5.2.\sqrt 3 + {{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2}} \)

    \( = \sqrt {{{\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5 - 2\sqrt 3 \).

Nhận thấy \(2\sqrt 3 < 2\sqrt 4 \) hay \(2\sqrt 3 < 2.2\) và \(2\sqrt 3 < 4\).

Do đó, \(2\sqrt 3 - 3 < 4 - 3\) suy ra C < 1.

Từ đây ta được 0 < C < 1.       (1)

Có \(2\sqrt 3 < 4\) nên \( - 2\sqrt 3 > - 4\) do đó \(5 - 2\sqrt 3 > 5 - 4\) hay D > 1.

\(2\sqrt 3 > 3\) suy ra \( - 2\sqrt 3 < - 3\) nên \(5 - 2\sqrt 3 < 5 - 3\) hay D < 2.

Từ đây, ta được 1 < D < 2.     (2)

Từ (1) và (2) ta có: 0 < C < 1 < D < 2.

Vậy giữa C và D có 1 số nguyên thỏa mãn là 1.