Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có

4A=(x+y+z+t)2(x+y+z)(x+y)xyzt≥4(x+y+z)t(x+y+z)(x+y)xyzt.=4(x+y+z)2(x+y)xyz≥4.4(x+y)z(x+y)xyz.=16(x+y)2xy≥16.4xyxy≥64.⇒A≥16

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x+y+z+t=2x+y+z=tx+y=zx=y⇔x=y=14z=12t=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi  x=y=14,z=12,t=1