Cho bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276 . Tìm tích của bốn số đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 585

Gọi bốn số đó lần lượt là \[a;a + n;a + 2n;a + 3n\] với \[a\] là số hạng đầu tiên và \[n\] là công sai của cấp số cộng .

Theo đề, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + \left( {a + n} \right) + \left( {a + 2n} \right) + \left( {a + 3n} \right) = 28\\{a^2} + {\left( {a + n} \right)^2} + {\left( {a + 2n} \right)^2} + {\left( {a + 3n} \right)^2} = 276\end{array} \right.\]

                    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 6n = 28\\4{a^2} + 12an + 14{n^2} = 276\end{array} \right.\]

                    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\4{a^2} + 12an + 14{n^2} = 276\end{array} \right.\]

                    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\4{\left( {7 - \frac{3}{2}n} \right)^2} + 12\left( {7 - \frac{3}{2}n} \right)n + 14{n^2} = 276\end{array} \right.\]

                      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\5{n^2} = 80\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\n = \pm 4\end{array} \right.\].

Với \[n = 4\] và \[n = - 4\] ta đều có 4 số hạng là \[1;5;9;13\].

Vậy tích của 4 số này là \[1.5.9.13 = 585\].