Cho bốn điểm A(3; -1; 1), B(6; -1; 4), C0; -1; 4), D(3; -4; 4). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 0} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 4} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} - 12a + 36 + {c^2} - 8c + 16\\{a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} + {c^2} - 8c + 16\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + 8b + 16 + {c^2} - 8c + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 1\\c = 4\end{array} \right.\].

Do đó, I(3; -1; 4), R² = IA² = (3 – 3)² + (-1 + 1)² + (4 – 1)² = 9.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 3)² + (y + 1)² + (z – 4)² = 9.