Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng vecto AB = vecto CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

+) Có AB→=CD→, cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: IA→+ID→=0→,   JB→+JC→=0→.

Theo quy tắc ba điểm ta có:

IJ→=IA→+AJ→=IA→+AB→+BJ→

IJ→=ID→+DJ→=ID→+DC→+CJ→

Suy ra: IJ→+IJ→=(IA→+AB→+BJ→)+(ID→+DC→+CJ→)

=(IA→+ID→)+(AB→+DC→)+(BJ→+CJ→)

=0→+(AB→+DC→)−(JB→+JC→)

=(AB→+DC→)−0→=AB→+DC→.

Do đó: AB→+DC→=2IJ→  (1)

Mà AB→=CD→ nên AB→+DC→=CD→+DC→=CC→=0→  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ→=0→

Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh AB→=CD→.

Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.

Do đó: IA→+ID→=0→,  IB→+IC→=0→.

Theo quy tắc ba điểm ta có: AB→=AI→+IB→;  CD→=CI→+ID→

Suy ra: AB→−CD→=(AI→+IB→)−(CI→+ID→)=(IB→+IC→)−(IA→+ID→)=0→−0→=0→

⇒AB→=CD→.