Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng BCD. Suy ra ABCD là một tứ diện.

a) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( - 1;2; - 7),\overrightarrow {BD}  = (0;4; - 6),[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (16; - 6; - 4)\)

Mặt phắng \((BCD)\) đi qua \({\rm{B}}(1;0;6)\) và nhận \(\vec n = \frac{1}{2}[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (8; - 3; - 2)\) có phương trình là \(8({\rm{x}} - 1) - 3{\rm{y}} - \) \(2(z - 6) = 0 \Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\).

Thay tọa độ điếm A vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{BCD}})\) ta được: \({\rm{ 8}}{\rm{. }}( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4 =  - 36 \ne 0.{\rm{ }}\)

Do đó \({\rm{A}} \notin ({\rm{BCD}}\) ). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Ta có \(AH = d(A,(BCD)) = \frac{{|8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4|}}{{\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6;3)\) và \(\overrightarrow {CD}  = (1;2;1),[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = ( - 12;0;12)\).

Mặt phắng \(({\rm{a}})\) đi qua \({\rm{A}}( - 2;6;3)\) và nhận \(\vec n =  - \frac{1}{{12}}[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = (1;0; - 1)\) có phương trình là \(({\rm{x}} + 2) - ({\rm{z}} - 3) = \) \(0 \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\)