Cho bốn dãy số (un), (vn), (xn), (yn) có công thức số hạng tổng quát lần lượt là: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}};\quad {v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n};\quad {x_n} = \sin (n) + \cos (n);\qua

Đáp án: 2

Xét dãy số \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\):

Ta có: \({u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\).

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n \ge 1 \Rightarrow 0 < \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow 2 - \frac{3}{2} \le 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Rightarrow 0,5 \le {u_n} < 2\).

Dãy số vừa bị chặn dưới bởi 0,5, vừa bị chặn trên bởi \(2\) nên \(({u_n})\) là dãy số bị chặn.

Xét dãy số \({v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n} = n + \frac{1}{n}\):

Vì n ∈ ℕ^* => n ≥ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \({v_n} = n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2\).

Suy ra dãy số bị chặn dưới bởi 2.

Tuy nhiên, khi n tiến ra vô cùng, biểu thức v_n cũng tiến ra vô hạn, do đó dãy số không bị chặn trên.

Vì không bị chặn trên nên (v_n) không phải là dãy số bị chặn.

Xét dãy số \({x_n} = \sin (n) + \cos (n)\):

\({x_n} = \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le {x_n} \le \sqrt 2 \) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Dãy số vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên nên (x_n) là dãy số bị chặn.

Xét dãy số y_n = (−2)ⁿ. Đây là dãy số đan dấu

Dãy số này không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới.

Do đó, (y_n) không phải là dãy số bị chặn.

Vậy có tất cả 2 dãy số bị chặn.