Cho bộ ba số nguyên dương (a; b; c ) thỏa mãn log 1 + log (1 + 3) + log (1 + 3 + 5) + ⋯ + log (1 + 3 + 5 + ⋯ + 19) − 2 log 5040 = a + b log 2 + c log 3. Tính tổng P = a + b + c

Giải chi tiết:

Ta có

       \[1 = {1^2},\quad 1 + 3 = {2^2},\quad 1 + 3 + 5 = {3^2},\; \ldots ,\;1 + 3 + \cdots + 19 = {10^2}.\]

Do đó

     \[\log 1 + \log {2^2} + \log {3^2} + \cdots + \log {10^2} = \log (1 \cdot {2^2} \cdot {3^2} \cdots {10^2}).\]

                \[ = 2\log (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 10) = 2\log (10!).\]

Suy ra

                \[2\log (10!) - 2\log (7!) = 2\log (8 \cdot 9 \cdot 10).\]

\[ = 2\log ({2^4} \cdot {3^2} \cdot 5) = 2 + 6\log 2 + 4\log 3.\]

So sánh hai vế:

                                                 \[a = 2,\quad b = 6,\quad c = 4.\]

                                                          \[P = a + b + c = 12.\]

Đáp án cần điền là: 12