Cho biểu thức A = ( x căn bậc hai x -1 / x - căn bậc hai x - x căn bậc hai x + 1/ x + căn bậc hai x)

a) Rút gọn biểu thức A.

ĐKXĐ:  \[x > 0,x \ne 1\]

Ta có    \[\frac{{x\sqrt x  - 1}}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\]

            \[\frac{{x\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\]

            \[\frac{{2\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}{{x - 1}} = \frac{{2{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\]

Vậy \[A = \left( {\frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} - \frac{{x - \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}} \right) = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\]

b)  Tìm \[x\] nguyên để \[A\] nhận giá trị nguyên

Ta có \[A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x  - 1}}\]

Để \[A\] nhận giá trị nguyên thì \[\sqrt x  - 1\] là ước của \[2\].

Hay \[\left( {\sqrt x  - 1} \right) \in \left\{ {2; - 2;1; - 1} \right\}\].

Suy ra \[\left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 1 =  - 2 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 1\,\,\left( l \right)\\\sqrt x  - 1 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( l \right)\\\sqrt x  - 1 = 2 \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\,\left( n \right)\\\sqrt x  - 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( n \right)\end{array} \right.\]

Vậy có 2 giá trị \[x = 4;x = 9\] thì \[A\] nguyên.