Cho biểu thức x ^2 − 3 x + 1 = 0

a) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0\)

Vì \(\Delta > 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) nên theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right)}}{1} = 3}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1{\rm{   }}}\end{array}} \right.\)

Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 1 = 0\) nên ta có \(x_2^2 - 3{x_2} + 1 = 0\), suy ra \(x_2^2 = 3{x_2} - 1\).

Khi đó: \(P = \frac{2}{{{x_2} - 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\)

\(P = \frac{{2\left( {{x_1} - 1} \right)}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}} + \frac{{{x_2}\left( {{x_2} - 1} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{2{x_1} - 2 + x_2^2 - {x_2}}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{2{x_1} - 2 + 3{x_2} - 1 - {x_2}}}{{{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} + 1}}\)

\(P = \frac{{2{x_1} + 2{x_2} - 3}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\)

\(P = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\)

\(P = \frac{{2.3 - 3}}{{1 - 3 + 1}}\)

\(P =  - 3\)

Vậy \(P =  - 3\).