Cho biểu thức: u = căn bậc ba của 10 + 6 căn bậc hai của 3, v = căn bậc ba của 10 − 6 căn bậc hai của 3. Đặt S = u + v. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Sai.              c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

\(u = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 3 + 9 + 3\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 3 \).

b) Sai.

Ta có:

\(u.v = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} \cdot \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{\left( {10 + 6\sqrt 3 } \right)\left( {10 - 6\sqrt 3 } \right)}} = \sqrt[3]{{{{10}^2} - {{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \sqrt[3]{{ - 8}} = - 2\).

c) Đúng.

Ta có: S = u + v

             \( = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}\)

             \( = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^3}}}\)

             \( = 1 + \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 = 2\).

d) Sai.

Thay S = 2 vào x³ − 6x – 20 = 0 được 2³ − 6.2 – 20 = 8 – 12 – 20 = −24 ≠ 0.

Vậy giá trị của S không là nghiệm của phương trình x³ − 6x – 20 = 0.