Cho biểu thức:

a) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{5}{{x + \sqrt x  - 6}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\)

             \( = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{5}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\)

 \( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) - 5 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 4 - 5 - \sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 2}}\)

   Vậy khi \(x \ge 0;x \ne 4\), thì \(P = \frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 2}}\)(điều phải chứng minh).

b) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 2}}\) với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4\)

+ Để \({P^2} > P\) thì \(P\left( {P - 1} \right) > 0\)

\(\frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 2}}.\left( {\frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 2}} - 1} \right) > 0\)        hay           \(\frac{{ - 2\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}} > 0\)

\( - 2\left( {\sqrt x  - 4} \right) > 0\)  (vì \({\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} > 0\,\,\forall x\) thỏa mãn điều kiện xác định)

                                                               \(\begin{array}{l}\sqrt x  - 4 < 0\\x < 16\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 16\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Vậy khi  \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 16\\x \ne 4\end{array} \right.\) thì \({P^2} > P\).