Cho biểu thức: T = ( a / (căn bậc hai của a − 1) / (a − căn bậc hai của a) − a / (căn bậc hai của a + 1) / (a + căn bậc hai của a) ) : (a + 1)/(a − 1). Khi đó:
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Với mọi a ≥ 0, ta có:
• \[a - \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0\], do đó a ≠ 0 và a ≠ 1.
• \[a + \sqrt a \ne 0\] suy ra \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0\], do đó \[a \ne 0\].
• \[a - 1 \ne 0\] suy ra a ≠ 1.
Do đó, điều kiện xác định của T là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\].
b) Đúng.
Với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], ta có:
\[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
Vậy với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] ta được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
c) Sai.
Vì biểu thức T có điều kiện xác định là \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], tức là tại a = 1 thì biểu thức T không có giá trị.
d) Đúng.
Thay a = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào T, ta được: \[T = \frac{{2\left( {3 - 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{2.2}}{4} = 1.\]