Cho biểu thức T = 3x - 2y - 4 với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình x - y - 1 =< 0; x + 4y + 9 >= 0; x - 2y + 3 >= 0. Biết T đạt giá trị nhỏ nhất khi x = x0 và y = y0. Tính x0^2 + y0^2.

39/50

Cho biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình .\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 \le 0\\x + 4y + 9 \ge 0\\x - 2y + 3 \ge 0\end{array} \right.\). Biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\). Tính \(x_0^2 + y_0^2\).

Giải thích

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) như hình vẽ với \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Cho biểu thức T = 3x - 2y - 4 với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình x - y - 1 =< 0; x + 4y + 9 >= 0; x - 2y + 3 >= 0. Biết T đạt giá trị nhỏ nhất khi x = x0 và y = y0. Tính x0^2 + y0^2. (ảnh 1)

Biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong ba điểm \(A\left( { - 5; - 1} \right),B\left( { - 1; - 2} \right),C\left( {5;4} \right)\).

Ta có \(T\left( { - 5, - 1} \right) = 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 17\); \(T\left( { - 1, - 2} \right) = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 4 = - 3\);

\(T\left( {5,4} \right) = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 4 = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \( - 17\) khi \(x = - 5;y = - 1\).

Suy ra \(x_0^2 + y_0^2 = 26\).

Trả lời: 26.