Cho biểu thức S(x) = [x] + [x^2] + [x^3] + … + [x^10.000]. Với x ∈ R. Tính S(2037) − S(2036) = Trong đó [x] là phần nguyên của x hay là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

Đáp án: \(8.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(S\left( {2037} \right) - S\left( {2036} \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^{k = 10000} \left( {\left[ {\frac{{2037}}{k}} \right] - \left[ {\frac{{2036}}{k}} \right]} \right)\)

Ta thấy: \(\left[ {\frac{{x - 1}}{k}} \right] \le \left[ {\frac{x}{k}} \right],k \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta xét \(x\) là số nguyên

Khi đó \(\left[ {\frac{{x - 1}}{k}} \right] < \left[ {\frac{x}{k}} \right] = n \Leftrightarrow x - 1 < kn = x\)

Tức là \(\left[ {\frac{{x - 1}}{k}} \right] = \left[ {\frac{x}{k}} \right] - 1\) khi và chỉ khi \(k\) là ước của \(x\).

Suy ra với \(k\) là ước của \(\left[ {\frac{{2037}}{k}} \right] - \left[ {\frac{{2036}}{k}} \right] = 1\) và \(k\) khác ước của \[2037\]thì \(\left[ {\frac{{2037}}{k}} \right] - \left[ {\frac{{2036}}{k}} \right] = 0\)

Mà \(2037 = 3 \times 7 \times 97 \Rightarrow \)\(2037\) có \(8\) ước

Vậy \[S\left( {2037} \right) - S\left( {2036} \right) = 8\]