Cho biểu thức S = (x/ (x + 3) − 2/(x − 3) + (x^2 − 1)/(9 − x^2) : ( 2 − (x + 5)/(3 + x) ( x ≠ − 3 ; x ≠ 3 ; x ≠ − 1 ) . Hỏi sau khi rút gọn biểu thức S ta được phân thức có tư

Hướng dẫn giải

Đáp số: \[ - {\bf{5}}\].

Với \[x \ne - 3\,;\,\,x \ne 3\,;\,\,x \ne - 1\], ta có:

\[S = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right)\]

\[ = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{{2\left( {3 + x} \right) - x + 5}}{{3 + x}}\]

\( = \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{6 + 2x - x + 5}}{{x + 3}}\)

\( = \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x - 2x - 6 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)

\[ = \frac{{ - 5x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\]

\[ = \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\]

Vậy với \(x \ne - 3\,;\,\,x \ne 3\,;\,\,x \ne - 1,\) sau khi rút gọn biểu thức \[S\] ta được phân thức có tử thức bằng \( - 5.\)