Cho biểu thức: S = ( x + 2 )^2 /x ⋅ ( 1 − x^2/( x + 2) ) − (x^2 + 6 x + 4)/ x . a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức S .

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: \[x \ne 0;\,\,\,x + 2 \ne 0\] hay \[x \ne 0;\,\,x \ne  - 2.\]

b) Với \[x \ne 0;\,\,x \ne  - 2,\] ta có:

\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot 1 - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - x\left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}} \right] - x\left( {x + 2} \right)\)

\( = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)

\( = \frac{{ - 2x}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)\( =  - 2 - \left( {{x^2} + 2x} \right).\)

\( =  - 2 - {x^2} - 2x.\)

Ta thấy \[x = 0,1\] thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức \[S\] tại \[x = 0,1\] là:

\[S =  - 2 - 0,{1^2} - 2 \cdot 0,1 = --2--0,01--0,2 =  - 2,21.\]

c) Ta có: \(S =  - 2 - {x^2} - 2x =  - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 1 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1.\)

Suy ra \[S\] đạt giá trị lớn nhất khi \( - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1\) đạt giá trị lớn nhất.

Mà với mọi x, ta có \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\] hay \[ - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le  - 1.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[S\] là \[ - 1\] khi \[{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\] hay \[x =  - 1\] (thoả mãn điều kiện xác định).