Cho biểu thức (Q = (2n - 1)(2n + 3) - (4n - 5)(n + 1) + 3). Chứng minh (Q) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên (n).

Ta có \(Q = (2n - 1)(2n + 3) - (4n - 5)(n + 1) + 3\)

\( = \left( {4{n^2} + 6n - 2n - 3} \right) - \left( {4{n^2} + 4n - 5n - 5} \right) + 3\)

\( = 4{n^2} + 6n - 2n - 3 - 4{n^2} - 4n + 5n + 5 + 3\)

\( = \left( {4{n^2} - 4{n^2}} \right) + \left( {6n - 2n - 4n + 5n} \right) + \left( {3 - 3 + 5} \right)\)

\( = 5n + 5\).

Vì \(5n + 5\,\, \vdots \,\,5,\,\,\forall n \in \mathbb{Z}\) nên \(Q\) luôn chia hết cho \(5\) với mọi số nguyên \(n\).