Cho biểu thức Q = ( 10 - 2 căn bậc hai x / x căn bậc hai x- x - căn bậc hai x +1
a) Với \(x \ge 0\)và \(x \ne 4,x \ne 9\), ta có:
\(P = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 9 + 9 - x + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{ - \sqrt x + x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\)
b)
\(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\)
Để\(P\) nhận giá trị là số nguyên thì\(\frac{4}{{\sqrt x - 3}}\) phải nhận giá trị là số nguyên\( \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;4} \right\}\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 4\) (loại)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow x = 49\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow x = 1\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow x = 25\)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = - 4 \Leftrightarrow \sqrt x = - 1\) (loại)
· \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow x = 16\)
Vậy\(x \in 1;16;25;49\} \) thì\(P\) nhận giá trị là số nguyên