Cho biểu thức Q = (1/(x - 1) + x/(x^2 - 1)) · (x - 1)/(2x + 1). Tính tổng các giá trị nguyên của x để biểu thức Q đạt giá trị nguyên.

Đáp án: –2.

Điều kiện xác định: \(x \ne 1,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - 0,5\).

Rút gọn biểu thức:

\(Q = \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\)

   \( = \frac{{x + 1 + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\)

   \[ = \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\]

   \( = \frac{1}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) nguyên, để \(Q\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) phải là ước của 1.

Mà Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}\) nên suy ra \(x + 1 = 1\) hoặc \(x + 1 =  - 1\).

Từ đó ta tính được \(x = 0\) hoặc \(x =  - 2\) (cả hai đều thỏa mãn điều kiện xác định).

Tổng các giá trị là \(0 + \left( { - 2} \right) =  - 2\).