Cho biểu thức P=(căn x−1/ căn x):(căn x−1/ căn x+(1−căn x) / (x+căn x)). (a) Rút gọn P;

a) Rút gọn biểu thức

\[P = \left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\] (đk: x > 0)

\[ = \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x }} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\]

\[ = \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{x - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)\]

\[\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\]

b) Ta có: \[x = \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{4 - 3}} = 4 - 2\sqrt 3 \]

Thay \[x = 4 - 2\sqrt 3 \]vào biểu thức P, ta được:

\[P = \frac{{{{\left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{{{\left( {\left| {\sqrt 3 - 1} \right| + 1} \right)}^2}}}{{\left| {\sqrt 3 - 1} \right|}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1 + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{3}{{\sqrt 3 - 1}}\].

Giá trị của P khi \[x = \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }}\] là \[\frac{3}{{\sqrt 3 - 1}}\].

c) Xét \[\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} + 2\sqrt x + 1 - 6\sqrt x + 3 + \sqrt {x - 4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} + \sqrt {x - 4} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 = 0\\\sqrt {x - 4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\]

Vậy x = 4 để \[P\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \].