Cho biểu thức P = (x^2 + y^2 + z^2)/((y - z)^2 + (z - x)^2 + (x - y)^2) và x + y + z = 0. Tính giá trị của 3P.

Đáp án: 1.

\(P = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 2\left( {xy + yz + zx} \right)}}\)

Từ giả thiết \(x + y + z = 0\), ta bình phương hai vế:

\({\left( {x + y + z} \right)^2} = 0\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 0\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} =  - 2\left( {xy + yz + zx} \right)\)

Khi đó \[P = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 2\left( {xy + yz + zx} \right)}}\]

               \[ = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}\]

               \[ = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}} = \frac{1}{3}.\]

Vậy \(3P = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1.\)