Cho biểu thức: P = x − 9 căn bậc hai của x / căn bậc hai của x và Q = căn bậc hai của x + 1 / (căn bậc hai của x + 3) − 2 căn bậc hai của x + 5 / (9 − x) với x > 0 và x khác 9. Biết A = P ·

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

Với x > 0, ta có:

\(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{2\sqrt x + 5}}{{9 - x}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x - 3 + 2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

Có A = P.Q = \(\frac{{x - 9}}{{\sqrt x }}.\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\)

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}\) hay x = 2 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của A = \(2\sqrt 2 = \sqrt 8 \) khi x = 2.