Cho biểu thức: P = x^ 2022 . căn bậc hai x - 5x ^2020 . căn bậc hai x + x^2 + 2017

1. Ta có \(x = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} - \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^3} = (2 + \sqrt 5 ) - (2 - \sqrt 5 ) - 3\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} \cdot \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}(\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }})\\ \Rightarrow {x^3} = 2\sqrt 5  + 3x\\ \Rightarrow (x - \sqrt 5 )\left( {{x^2} - \sqrt 5 x + 2} \right) = 0.\end{array}\)

Chú ý rằng \({x^2} - \sqrt 5 x + 2 = {\left( {x - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) nên từ đây chỉ có thể \(x = \sqrt 5 \).

Thế nên \(P = {x^{2020}}\sqrt x \left( {{x^2} - 5} \right) + {x^2} + 2017 = 2022\).

2. Bằng tính toán trực tiếp, ta tính được \(x_0^3 = 38 + 17\sqrt 5 ;x_0^2 = 9 + 4\sqrt 5 \). Vì \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \({x^3} + b{x^2} + cx + 1 = 0\) nên

\(\begin{array}{l}x_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} + 1 = 0\\ \Rightarrow (38 + 17\sqrt 5 ) + b(9 + 4\sqrt 5 ) + c(2 + \sqrt 5 ) + 1 = 0\\ \Rightarrow (39 + 9b + 2c) + (17 + 4b + c)\sqrt 5  = 0.\end{array}\)

Ta thấy rằng nếu \(17 + 4b + c \ne 0\) thì \(\sqrt 5  = \frac{{39 + 9b + 2c}}{{17 + 4b + c}} \in \mathbb{Q}\) do \(b,c\)là số nguyên, điều vô lí. Do đó \(17 + 4b + c = 0\), kéo theo \(39 + 9b + 2c = 0\).

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4b + c + 17 = 0}\\{9b + 2c + 39 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b =  - 5}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Với \((b;c) = ( - 5;3)\) thì phương trình trở thành  \({x^3} - 5{x^2} + 3x + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x - 1} \right)(x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 5 }\\{x = 2 - \sqrt 5 }\\{x = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy với \((b;c) = ( - 5;3)\), ngoài nghiệm \({x_0} = 2 + \sqrt 5 \) thì PT còn nghiệm \({x_1} = 2 - \sqrt 5 \) và \({x_2} = 1\).