Cho biểu thức: P = ( (x − 2) / (x + 2√x + 1/√x + 2) ) · (√x + 1 / √x − 1), với x > 0 và x ≠ 1. Biết rằng khi rút gọn P được biểu thức P = √x + a√x (với a thuộc Z). Hỏi giá trị của a bằng bao

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1.

a) Với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)

   \( = \left[ {\frac{{x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)

   \[ = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]

   \[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]

   \[ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\].

Vậy với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)

Vậy a = 1.