Cho biểu thức P = ( căn bậc hai x + 1 /căn bậc hai x − 1 − căn bậc hai x − 1 /căn bậc hai x + 1 − 8 /x − 1 ) ⋅ x − 1/ căn bậc hai x với x > 0 và x ≠ 1 .

4/9

Cho biểu thức \[P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\] với \[x > 0\] và \[x \ne 1\].

1) Rút gọn biểu thức \[P\].

2) Tìm tất cả các số nguyên \[x\] sao cho \[\left| P \right| + P = 0\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Ta có: \[P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]\[ = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} - \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} - \frac{8}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 - x + 2\sqrt x - 1 - 8}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{{4\sqrt x - 8}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{{4\sqrt x - 8}}{{\sqrt x }}\]

Vậy \[P = \frac{{4\sqrt x - 8}}{{\sqrt x }}\] với \[x > 0\] và \[x \ne 1\].

2) Để \[\left| P \right| + P = 0\] thì \[\left| P \right| = - P\] nên \[P \le 0\] do đó \[\frac{{4\sqrt x - 8}}{{\sqrt x }} \le 0\] mà \[x > 0\] nên \[\sqrt x > 0\] hay \[4\sqrt x - 8 < 0\]

Do đó \[\sqrt x < 2 \Rightarrow x < 4\]. Kết hợp điểu kiện \[x \in \mathbb{Z},x > 0,x \ne 1\] nên \[x \in \left\{ {2;3} \right\}\] (thử lại thoả mãn).

Vậy \[x \in \left\{ {2;3} \right\}\] thì \[\left| P \right| + P = 0\].