Cho biểu thức: P = căn bậc hai của x / (căn bậc hai của x − 1) + 3 căn bậc hai của x + 1 − 6 căn bậc hai của x − 4 / (x − 1) với x ≥ 0, x khác 1. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Sai.                    c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

Với \[{\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}\], ta có:

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\left( {\sqrt x - 1} \right) - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\).

Vậy với \[{\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}\] thì \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\).

b) Sai.

Với \[{\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}\], ta có: \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x + 1}} < 1\).

Vậy P < 1.

c) Đúng.

Với \[{\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}\], ta có: \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} \ge \frac{{\sqrt 0 - 1}}{{\sqrt 0 + 1}}\) hay P ≥ −1.

Vậy GTNN của P = −1.

d) Sai.

Biểu thức P đạt GTNN khi \[\sqrt x = 0\] hay x = 0.