Cho biểu thức: P = ( (căn bậc hai của x − 2x − 1 − căn bậc hai của x + 2x + 2 căn bậc hai của x + 1) ) · (1 − x)^2 / 2 với x ≥ 0, x khác 1. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

\(P = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

   \( = \left[ {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

   \[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\]

   \[ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\]

   \[ = \left[ {\frac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\]

    \[ = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\]

    \[ = \frac{{1 - x}}{{\sqrt x + 1}}\]

    \[ = \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x + 1}}\]

    \[ = 1 - \sqrt x \].

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì \[P = 1 - \sqrt x \].

b) Đúng.

Ta có: \(x = 7 - 4\sqrt 3 = 4 - 2.2\sqrt 3 + 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay vào P \[ = 1 - \sqrt x \], ta được: \[P = 1 - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 - 2 + \sqrt 3 = \sqrt 3 - 1\].

c) Đúng.

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có: \[\sqrt x \ge 0\] nên \[1 - \sqrt x \le 1\].

Vậy GTLN của P = 1.

d) Sai.

GTLN của P = 1 khi x = 0.