Cho biểu thức P = a^4 + b^4 - ab với a, b là các số thực thỏa mãn a^2 + b^2 + ab = 3

Ta có a2+b2+ab=3⇔a2+b2=3−ab thay vào P ta được.

P=a4+b4−ab=a2+b22−2a2b2−ab=3−ab2−2a2b2−ab=9−6ab+a2b2−2a2b2−ab=9−7ab−a2b2=−ab2+2.ab.72+494+494+9=−ab+722+854

Vì a2+b2=3−ab, mà a+b2≥0⇔a2+b2≥−2ab⇒3−ab≥−2ab⇔ab≥−3. (1)

Và a−b2≥0⇔a2+b2≥2ab⇒3−ab≥2ab⇔ab≤1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra −3≤ab≤1⇔−3+72≤ab+72≤72+1⇔12≤ab+72≤92

⇔14≤ab+722≤814⇔−814≤−ab+722≤−14⇔−814+854≤−ab+722+854≤−14+854⇔1≤−ab+722+854≤21 

Vậy Max P = 21. Dấu = xảy ra khi ab=−3a2+b2=6⇔a=3b=−3vb=3a=−3.

Min P = 1. Dấu = xảy ra khi ab=1a2+b2=2⇔a=1b=1 hoặc a=-1b=-1.