Cho biểu thức: P = (a − căn bậc hai của a) / (a − 2 căn bậc hai của a + 1) · (1 − căn bậc hai của a). Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.           b) Sai.           c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

Với mọi x ≥ 0, điều kiện xác định của P là:

• \(x - 2\sqrt x \ne 0\), do đó x ≠ 0 và x ≠ 4.

• \(\sqrt x - 2 \ne 0\), do đó x ≠ 4.

• \(x - 4\sqrt x + 4 \ne 0\) hay \({\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \ne 0\), do đó x ≠ 4.

Do đó, điều kiện xác định của P là x > 0, x ≠ 4.

b) Sai.

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

\(P = \left( {\frac{1}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 4\sqrt x + 4}}\)

   \( = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\)

c) Đúng.

Với \(x = 6 - 2\sqrt 5 = 5 - 2\sqrt 5 + 1 = {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2}\), thay vào P được:

\(P = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 - 1 - 2}}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{\sqrt 5 - 3}}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt 5 - 3} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{4} = \frac{{2 - 2\sqrt 5 }}{4} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\).

d) Sai.

Với P = −1 thì \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = - 1\) hay \(\sqrt x - 2 = - \sqrt x \), do đó \(2\sqrt x = 2\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn).