Cho biểu thức P = A . B . Tìm x là số nguyên lớn nhất để P < 1/ 2 .

\(P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 9}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 9}}\)         

\(P < \frac{1}{2}\)  

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 9}} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 9}} - \frac{1}{2} < 0\)

\(\frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 9} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  + 9} \right)}} < 0\)

\(\frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 9} \right)}} < 0.\) 

\(\frac{{\sqrt x  - 11}}{{2\left( {\sqrt x  + 9} \right)}} < 0\)           

Giá trị phân thức  nhỏ hơn 0 khi tử và mẫu trái dấu

Với mọi \(x\) thoả mãn điều kiện, ta có: mẫu = \(2\left( {\sqrt x  + 9} \right) > 0\)

Nên \(\sqrt x  - 11 < 0\)

\(\begin{array}{l}\sqrt x  < 11\\x < 121\end{array}\)  

Kết hợp điều kiện xác định  : \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\\x < 121\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 121\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Mà \(x\) là số nguyên lớn nhất nên \(x = 120\) (thoả mãn)

Vậy \(x = 120\) thỏa mãn bài toán.