Cho biểu thức: M = 1 + 2 + 2^2 + 2^ 3 + 2^ 4 + . . . . + 2^ 98 .

Ta có \[M = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + .... + {2^{98}}\]

           \[2M = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + .... + {2^{99}}\]

\[M = 2M - M = {2^{99}} - 1 < {2^{99}}\]

Ta có \[{8^{33}} = 8.8.8....8\;\] (có 33 thừa số)

\[\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {2^3}{.2^3}{.2^3}{.....2^3} = {2^{3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3}} = {2^{33.3}} = {2^{99}}\]

Vậy \[M{\rm{ }} < {\rm{ }}{8^{33}}\].

Ta có \[M = {\rm{ }}{2^{99}} - 1\].

Ta có:

\({2^{96}} = {2^{4.24}} = {2^{4 + 4 + 4 + \ldots + 4}} = {2^4}{.2^4}{.2^4} \ldots {2^4} = {\left( {{2^4}} \right)^{24}} = {16^{24}}\) có chữ số tận cùng là 6.

\[{2^{99}} = {2^{96}}{.2^3} = {2^{96}}.8 = \left( { \ldots 6} \right).8{\rm{ }} = \left( { \ldots .8} \right)\] có chữ số tận cùng là 8.

Nên \[M{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{99}} - 1\] có chữ số tận cùng là 7.

Số chính phương không có chữ số tận cùng là 7.

Vậy M không là số chính phương.