Cho biểu thức K = (x/(x - 2) - 2/(x + 2) - 8/(x^2 - 4)) : (x - 2)/(x + 2). Tính tổng các giá trị nguyên của x để biểu thức K nhận giá trị nguyên.

Đáp án: 14.

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 2\).

\(K = \left( {\frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}} - \frac{8}{{{x^2} - 4}}} \right):\frac{{x - 2}}{{x + 2}}\)

    \( = \frac{{x\left( {x + 2} \right) - 2\left( {x - 2} \right) - 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = \frac{{{x^2} + 2x - 2x + 4 - 8}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = 1 \cdot \frac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

    \( = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} = 1 + \frac{4}{{x - 2}}.\)

Với \(x\) nguyên, để \(K\) nguyên thì \(x - 2\) phải là ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\) nên \(x - 2 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\).

Các giá trị của \(x\) lần lượt tương ứng là: \(3;\,\,1;\,\,4;\,\,0;\,\,6;\,\, - 2.\)

Giá trị \(x =  - 2\) không thỏa mãn ĐKXĐ.

Do đó, các giá trị hợp lệ là \(3;\,\,1;\,\,4;\,\,0;\,\,6.\)

Tổng các giá trị trên là \(3 + 1 + 4 + 0 + 6 = 14.\).