Cho biểu thức K = x 3 − 1 x 2 − 4 ⋅ ( 1 x − 1 − x + 1 x 2 + x + 1 ) ( x ≠ − 2 ; x ≠ 2 ; x ≠ 1 ) . Hỏi sau khi rút gọn biểu thức K ta được phân thức có tử thức bằng bao nhiêu

Hướng dẫn giải

Đáp số: 1.

Với \[x \ne - 2\,;\,\,x \ne 2\,;\,\,x \ne 1\], ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne - 2\,;\,\,x \ne 2\,;\,\,x \ne 1,\) sau khi rút gọn biểu thức \[K\] ta được phân thức có tử thức bằng 1.