Cho biểu thức I = ((x + 2)/(x - 3) + (x - 2)/(x + 3) - 2x^2/(x^2 - 9)) : 2/(x - 3). Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn I ≥ 1?

Đáp án: 5.

Điều kiện xác định: \(x \ne 3\) và \(x \ne  - 3\).

Khi đó, ta có:

\(I = \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 3}} + \frac{{x - 2}}{{x + 3}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 9}}} \right):\frac{2}{{x - 3}}\)

   \( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{\left( {{x^2} + 3x + 2x + 6} \right) + \left( {{x^2} - 3x - 2x + 6} \right) - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{{x^2} + 5x + 6 + {x^2} - 5x + 6 - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{2{x^2} + 12 - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{{12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{2}\)

   \( = \frac{6}{{x + 3}}\).

Theo bài, \(I \ge 1\) nên ta có:

\(\frac{6}{{x + 3}} \ge 1\)

\(\frac{6}{{x + 3}} - 1 \ge 0\)

\(\frac{{3 - x}}{{x + 3}} \ge 0\)

Trường hợp 1: \(3 - x \le 0\) và \(x + 3 < 0\)

                         \(x \ge 3\) và \(x <  - 3\) (vô lí).

Trường hợp 2: \(3 - x \ge 0\) và \(x + 3 > 0\)

                         \(x \le 3\) và \(x >  - 3\)

                         \( - 3 < x \le 3\).

Các giá trị nguyên thỏa mãn là: \( - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3.\)

Giá trị \(x = 3\) không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy chỉ còn 5 giá trị hợp lệ là: \( - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2.\)