Cho biểu thức G = ((x - 1)/(x + 2) - (x - 1)/(x - 2x^2 - x)) : (x - 2)/x. Tìm số nguyên dương x nhỏ nhất để G · (x - 2) > 4.

Đáp án: 4.

Điều kiện xác định: \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne 2\).

Khi đó, ta có:

\(G = \left[ {\frac{{x - 1}}{x} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \( = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \( = \frac{{{x^2} - 2x + 1 + 2x - 2}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \( = \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

   \[ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{x}{{x - 2}}\]

   \( = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}.\)

Theo bài, \(G \cdot \left( {x - 2} \right) > 4\) nên ta có:

\(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} \cdot \left( {x - 2} \right) > 4\)

\(x + 1 > 4\)                    (vì \(x \ne 2)\)

\(x > 3\).

Số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn 3 là 4.