Cho biểu thức \[f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\]. a) Với \(m \ne 2\) thì \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai.

a) Đúng: Với \(m \ne 2\) thì \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai.

b) Sai: Khi \(m = 3\) thì \(f\left( x \right)\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Khi \(m = 3\) thì \[f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\] nên \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 1\end{array} \right.\)

c) Sai: Tam thức bậc hai \[f\left( x \right)\] luôn nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m \le 2\)

Nếu \(m = 2\) thì \[f\left( x \right) =  - 2x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\] nên không xảy ra \[f\left( x \right) < 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

d) Đúng: Với mọi giá trị của \(m\) thì \(f\left( x \right) = 0\) đều có nghiệm.

Nếu \(m = 2\) thì \[f\left( x \right) =  - 2x + 3\] nên \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Nếu \(m \ne 2\) thì \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {m - 2} \right) = {\left( {m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\).

Vậy với mọi giá trị của \(m\) thì \(f\left( x \right) = 0\) đều có nghiệm.