Cho biểu thức F = (2/(x - 3) + 2/(x + 1) + 14/(x^2 - 9)) · (x - 3)/(x + 5). Tính tổng các giá trị nguyên của biến x để biểu thức F đạt giá trị nguyên.

Đáp án: –13.

Điều kiện xác định: \(x \ne 3,x \ne  - 3\) và \(x \ne  - 5\).

Rút gọn biểu thức:

\(F = \left( {\frac{2}{{x - 3}} + \frac{{2x + 14}}{{{x^2} - 9}}} \right) \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 5}}\)

    \( = \frac{{2\left( {x + 3} \right) + 2x + 14}}{{{x^2} - 9}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 5}}\)

    \( = \frac{{4x + 20}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 5}}\)

    \( = \frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x - 3}}{{x + 5}}\)

    \( = \frac{4}{{x + 3}}\).

Với \(x\) nguyên, để \(F\) là số nguyên, \(x + 3\) phải là một trong các ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\) nên \(x + 3 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\).

Từ đó ta lần lượt tính được các giá trị \(x\) là: \(x \in \left\{ { - 2;\,\, - 4;\,\, - 1;\,\, - 5;\,\,1;\,\, - 7} \right\}\).

Giá trị \(x =  - 5\) không thỏa mãn điều kiện xác định.

Các giá trị thỏa mãn còn lại là \(x \in \left\{ { - 2;\,\, - 4;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 7} \right\}.\)

Tổng của chúng là: \(\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) + \left( { - 1} \right) + 1 + \left( { - 7} \right) =  - 13\).