Cho biểu thức C = ((x + 2)/(x - 2) - (x - 2)/(x + 2) - 16/(x^2 - 4)) : 4/(x - 2). Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức C đạt giá trị nguyên?

Đáp án: 7.

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 2\).

\(C = \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} - \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}} \right):\frac{4}{{x - 2}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2} - 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 16}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{{8x - 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{{8\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)

\( = \frac{8}{{x + 2}} \cdot \frac{{x - 2}}{4}\)\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{2x + 4 - 8}}{{x + 2}} = 2 - \frac{8}{{x + 2}}.\)

Với \(x\) nguyên, để C nguyên thì \(x + 2\) phải là ước của 8.

Mà Ư\(\left( 8 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4;\,\,8;\,\, - 8} \right\}.\) Do đó \(x + 2 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4;\,\,8;\,\, - 8} \right\}.\)

Giải ra các giá trị tương ứng của \(x\) là: \(\left\{ { - 1;\,\, - 3;\,\,0;\,\, - 4;\,\,2;\,\, - 6;\,\,6;\,\, - 10} \right\}\).

Ta thấy \(x = 2\) không thỏa mãn ĐKXĐ ban đầu.

Vậy chỉ còn 7 giá trị hợp lệ.