Cho biểu thức C = (x + 2)/9 x + 3) − 5/( x^2 + x − 6) + 1/( 2 − x) . a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức C .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[{x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\{x^2} + x - 6 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right.,\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.,\) tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

Vậy biểu thức \(C\) xác định khi \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[C = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}\]\[ = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 5 - 1\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

Vậy \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) thì \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

c) Ta có: \[{x^2} - 9 = 0\]

\[\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

\[x = 3\] (thoả mãn điều kiện) hoặc \[x = - 3\] (không thỏa mãn điều kiện)

Thay \[x = 3\] vào biểu thức \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},\] ta được: \[C = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.\]

Vậy \[C = - 1\] khi \[{x^2} - 9 = 0.\]

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có: \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.\]

Với \(x\) là số nguyên, để \[C\] cũng có giá trị nguyên thì \[x - 2\] là ước của \(2.\)

Mà Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\[x - 2\]	\[ - 1\]	\[1\]	\[ - 2\]	\[2\]
\[x\]	\[1\] (thoả mãn)	\[3\] (thoả mãn)	\[0\] (thoả mãn)	\[4\] (thoả mãn)
\[C = 1 - \frac{2}{{x - 2}}\]	\[C = 1 - \frac{2}{{ - 1}} = 3\]	\[C = 1 - \frac{2}{1} = - 1\]	\[C = 1 - \frac{2}{{ - 2}} = 2\]	\[C = 1 - \frac{2}{2} = 0\]

Theo bài, \(C\) có giá trị là số nguyên dương lớn nhất nên \(C = 3.\)

Vậy \(x = 1\) thì \(C\) đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là \(C = 3.\)